ECUACIONES LINEALES

IGUALDAD es la expresiòn de dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor.

EJEMPLOS : a = b + c 3χ² = 4χ + 15

ECUACIÒN es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incògnitas. Las incògnitas se representan por las ùltimas letras de alfabeto: χ, Y, Z, U, V. Asì, 5χ + 2 = 17

es una ecuaciòn, porque es una igualdad en la que hay una incògnita, la χ, y esta igualdad sòlo se verifica, osea que sòlo es verdadera para el valor χ = 3. En efecto, si sustituimos la χ por 3, tenemos: 5 (3) + 2 = 17 osea 17 = 17

si damos a χ un valor distinto de 3, la igualdad no se verifica o no es verdadera.

La igualdad y² – 5y = – 6 es una ecuaciòn porque es una igualdad que sòlo se verifica para y = 2 y Y y = 3. En efecto, sustituyendo la y por 2, tenemos:

2² – 5 (2) = – 6 4 – 10 = – 6 – 6 = – 6

Si hacemos y = 3, tenemos:

3² – 5 (3) = – 6 9 – 15 = – 6 – 6 = – 6

si damos a y un valor distinto de 2 o 3, la igualdad no se verifica.

IDENTIDAD es una igualdad que se verifica para cualquiera valores de las letras que emtran en ella. Asì

(a – b)² = (a – b) (a – b)
a² – m² = (a + m) (a – m)

son identidades porque se verifican para cualquiera valor de letra a y b en el primer ejemplo y de las letras a y m del segundo ejemplo. El signo de identidad es =, que se lee «idèntico a».

Asì, la identidad de (χ + y)² con χ² + 2χy + y² se escribe (χ + y)² = χ² + 2χy + y² , y se lee (χ = y)² idèntico a χ² + 2χy + y².

MIEMBROS se llama primer miembro de una ecuaciòn o de una identidad a la expresiòn que està a la izquierda del signo de igualdad o identidad, y segundo miembro, a la expresiòn que està a la derecha. Asì, en la ecuaciòn 3χ – 5 = 2χ – 3

TERMINOS son cada una de las cantidades que estàn conectadas con otra por el signo + 0 -, o la cantidad que està sola en un miembro. Asì en la ecuaciòn 3χ – 5 = 2χ – 3

los terminos son 3χ, -5, 2χ, -3. No deben confundirse los miembros de una ecuaciòn con los tèrminos de la misma, error muy frecuente en los alumnos. Miembro y tèrmino son equivalentes sòlo cuando en un miembro de una ecuaciòn hay una sola cantidad. Asì, en la ecuaciòn 3χ = 2χ + 3 tenemos que 3χ es el primer miembro de la ecuaciòn y tambièn es un tèrmino de la ecuaciòn.

CLASES DE ECUACIONES

ECUACIÒN NUMÈRICA es una ecuaciòn que no tiene màs letras que las incògnitas, como: 4χ – 5 = χ + 4 donde la ùnica letra es la incògnita χ.

Una ecuaciòn literal es una ecuaciòn que ademàs de las incògnitas tiene otras letras, representan cantidades conocidas, como 3χ + 2a = 5b – bχ.

Una ecuaciòn es entera cuando ninguno de sus tèrminos tiene denominador como en los ejemplos anteriores, y es fraccionaria cuando algunos o todos sus tèrminos tienen denominador, como 3χ/2 + 6χ/5 = 5 + χ/5

GRADO de una ecuaciòn con una sola incògnita es el mayor exponente que tiene la incògnita en la ecuaciòn. Asì, 4χ – 6 = 3χ – 1 y aχ + b = b²χ + c son ecuaciones de primer grado porque el mayor exponente de χ es 1. La ecuaciòn χ² – 5χ + 6 = 0 . Es una ecuaciòn de segundo grado por que el mayor exponente de χ es 2. Las ecuaciònes de primer grado se llaman ecuaciones simples o lineales.

RESOLVER UNA ECUACIÒN es hallar sus raìses, osea el valor o los valores de las incògnitas que satisfasen la ecuaciòn.

REGLA Cualquier tèrmino de una ecuaciòn se puede pasar de un miembro a otro cambiàndole el signo.

REGLA GENERAL

Se efectùan las operaciones indicadas, si las hay.
Se hace la transposiciòn de tèrminos, reuniendo en un miembro todos los tèrminos que contengan la incògnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas.
Se reducen tèrminos semejantes en cada miembro.
Se despeja la incògnita dividiendo ambos miembros de la ecuaciòn por el coeficiente de la incògnita.

Resolver la ecuacòn 3χ – 5 = χ + 3.

pasando χ al primer miembro y -5 al segundo, cambiàndoles los signos, tenemos 3χ – χ = 3 + 5. Reduciendo tèrminos semejantes: 2χ = 8

Despejando χ para lo cual dividimos los dos miembros de la ecuaciòn entre 2, tenemos

VERIFICACIÒN es la prueba de que el valor obtenido para la incògnita es correcto.La verificaciòn se realiza sustituyendo en los dos miembros de la ecuaciòn de la incògnita por el valor obtenido, y si èste es correcto, la ecuaciòn dada se convertirà en identidad. Asì, en el caso anterior, haciendo χ = 4 en la ecuaciòn dada tenemos :